Может ли ИП работать в другом городе и в другом регионе?

Да, может.

Индивидуальный предприниматель может быть зарегистрирован по месту своего жительства, а вести деятельность может в другом городе или даже в другом регионе нашей огромной страны. Простор для деятельности ИП местом регистрации не ограничен.

Нужно ли ИП вставать на учет в налоговой инспекции другого региона?

По этому вопросу есть хорошие официальные разъяснения самой налоговой службы на следующем примере: ИП зарегистрирован в Москве, а хочет вести торговлю в Калужской области - нужна ли регистрация в налоговой инспекции Калужской области? 

Налоговая служба разъясняет, что ИП регистрируется в налоговой по месту своего жительства и эта регистрация не зависит от  места фактического осуществления деятельности. Поэтому если ИП уже зарегистрирован в Москве, то повторно регистрировать ИП в Калуге не нужно. 

НО есть особенности, связанные с налогообложением. Раньше если ИП оказывался на территории субъекта, в котором действовала ЕНВД, то он обязан был встать на учет по месту осуществления деятельности и производить уплату ЕНВД, введенного в этом регионе. С 2013 года ЕНВД стал добровольным. При этом, правда, необходимость учета не изменилась. Иными словами: если ИП ведет деятельность, облагаемую ЕНВД, то ему понадобится встать на учет по месту ведения деятельности.

Согласно ст. 335 Налогового кодекса РФ потребуется встать на учет в качестве плательщика налога на добычу полезных ископаемых по месту нахождения участка недр, предоставленного налогоплательщику.

Если ИП планирует применять патентную систему налогообложения (ПСН), то по месту осуществления деятельности тоже нужно будет получить патент. 

Налоги по УСН (упрощенная система налогобложения) или ОСНО (общая система налогобложения) будут уплачиваться по месту регистрации ИП, в этом случае становиться на учет в налоговую инспекцию другого региона не нужно.

И последнее: если ИП не просто планирует вести деятельность в другом регионе, а к тому же меняет свое место жительства (переезжает из одного региона в другой), то понадобится регистрация по новому месту жительства. Проживание без регистрации влечет штраф (статья 19.15.1 Кодекса об административных правонарушениях). 
Но об изменении адреса налоговую уведомлять не нужно.  В этом случае налоговая инспеция сама передаст регистрационное дело ИП в другую налоговую, после того, как получит сведения о перемене места жительства из миграционной службы. Подробнее об этом нововведении можно прочитать здесь.

Основание: Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях, Налоговый кодекс РФ, Федеральный закон от 08.08.2001 №129-ФЗ «О государственной регистрации юридических лиц и индивидуальных предпринимателей», Письмо МНС РФ от 30.07.2004 N 09-1-02/3110 "О регистрации индивидуальных предпринимателей".